EXPLICACION

4.6.-BASE ORTONORMAL , PROCESO DE GRAM SCHMIDT

Bases ortonormales
En esta sección veremos que dada cualquier base, siempre es posible transformarla de manera que sus vectores sean perpendiculares entre si y de longitud unitaria. Comencemos por definir este tipo de conjuntos vectoriales.

Definición: Vectores ortonormales
Se dice que un conjunto de vectores S={u1,u2,...uk} es un conjunto ortonormal si cumple las siguientes dos condiciones;

ui⋅uj=0 para todo i≠j
ui⋅ui=1.
con i,j=1,...k. Si sólo se satisface la primera condición, se dice que el conjunto es ortogonal.

Para hacer que los vectores sean ortogonales, recordemos de cálculo vectorial que un vector u se proyecta sobre otro vector v mediante la siguiente fórmula:
proyv(u)=v⋅u|v|2v
Ahora, si escogemos el vector w=u−v⋅u|v|2v, entonces v y w son ortogonales, como lo ilustra la gráfica


Figura : Vector de proyección.

Bajo esta idea se construye el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt; éste es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

El método para ortonormalizar un conjunto de vectores lo describimos a continuación

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
Consideremos un conjunto de vectores S={v1,v2...vn} linealmente independientes de un espacio vectorial V.

P.1) Elección del primer vector unitario. Tomamos el vector v1 y lo dividimos entre su magnitud para hacerlo unitario; al resultado lo llamaremos u1, es decir, u1=v1|v1|.
P.2) Elección del segundo vector unitario. Proyectamos el vector v2 sobre u1, para obtener
v′2=v2−v2⋅u1|u1|2u1=v2−(v2⋅u1)u1ésto último se debe a que|u1|=1.
Tomamos el vector v'2 y lo dividimos entre su magnitud para hacerlo unitario, al resultado lo llamaremos u2, es decir u2=v'2|v'2|.

P.3) Elección del k+1 vector unitario. Supongamos que se han construido los vectores {u1,u2...uk} y que forman un conjunto ortonormal. Para construir uk+1 tenemos
v′k+1=vk+1−(vk+1⋅u1)u1−(vk+1⋅u2
Finalmente uk+1={v′k+1∣∣v′k+1∣∣}.

4.5.-ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES

Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo único (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC, entonces

 La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.

Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).

EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3

En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces

 Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces

4.4.- BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE.

La dimensión de un espacio vectorial, proporciona una idea de cuántos parámetros se necesitan para localizar con toda precisión un punto en ese espacio; por ejemplo, para localizar un punto en el plano se necesitan 2 coordenadas, mientras que en R3 se deben indicar 3 coordenadas. Esa cantidad coincide con el número máximo de vectores linealmente independientes que puede tener un espacio vectorial.

Definición : Dimensión de un espacio

La dimensión de un espacio vectorial V es igual al máximo número de vectores linealmente independientes de dicho espacio y se denota como dimV.
Algunas dimensiones de espacios vectoriales conocidos son las siguientes:

1.-La dimensión de cualquier espacio vectorial trivial es 0.
2.-La dimensión del espacio vectorial formado con los puntos de una línea recta que pasa por el origen es 1, no importa si está definida en el plano o en el espacio.
3.-La dimensión de Rn=n para n≥0.
4.-La dimensión de los espacios vectoriales Pn que contienen a los polinomios de grado menor o igual a n, es n+1.
5.-La dimensión de los espacios vectoriales conformados por matrices de orden n×n es igual a n2.

Un resultado útil para saber cuando estamos generando un espacio, está expresado en la siguiente definicion:

Un conjunto de vectores genera un espacio vectorial, si contiene la misma cantidad de vectores linealmente independientes que la dimensión del espacio.

Definición : Base de un espacio vectorial

Un conjunto finito de vectores {v1,v2,...vn} es una base para un espacio vectorial V, si el conjunto {v1,v2,...vn} es linealmente independiente y genera a todo V.

Cada espacio vectorial puede contener una cantidad infinita de bases, pero hay una en particular que se conoce como base canónica o estándar, esto debido a la sencillez con que se puede representar un elemento del espacio en términos de esta base.

Algunas de las bases estándar mas conocidas son:

1.-El conjunto de vectores {(1,0),(0,1)}, que forman la base canónica de R2.
2.-El conjunto de vectores {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, que forman la base canónica de R3.
3.-El conjunto de vectores {1,x,x2,...xn}, que forman la base canónica de Pn.