4.4.- BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE.

La dimensión de un espacio vectorial, proporciona una idea de cuántos parámetros se necesitan para localizar con toda precisión un punto en ese espacio; por ejemplo, para localizar un punto en el plano se necesitan 2 coordenadas, mientras que en R3 se deben indicar 3 coordenadas. Esa cantidad coincide con el número máximo de vectores linealmente independientes que puede tener un espacio vectorial.

Definición : Dimensión de un espacio

La dimensión de un espacio vectorial V es igual al máximo número de vectores linealmente independientes de dicho espacio y se denota como dimV.
Algunas dimensiones de espacios vectoriales conocidos son las siguientes:

1.-La dimensión de cualquier espacio vectorial trivial es 0.
2.-La dimensión del espacio vectorial formado con los puntos de una línea recta que pasa por el origen es 1, no importa si está definida en el plano o en el espacio.
3.-La dimensión de Rn=n para n≥0.
4.-La dimensión de los espacios vectoriales Pn que contienen a los polinomios de grado menor o igual a n, es n+1.
5.-La dimensión de los espacios vectoriales conformados por matrices de orden n×n es igual a n2.

Un resultado útil para saber cuando estamos generando un espacio, está expresado en la siguiente definicion:

Un conjunto de vectores genera un espacio vectorial, si contiene la misma cantidad de vectores linealmente independientes que la dimensión del espacio.

Definición : Base de un espacio vectorial

Un conjunto finito de vectores {v1,v2,...vn} es una base para un espacio vectorial V, si el conjunto {v1,v2,...vn} es linealmente independiente y genera a todo V.

Cada espacio vectorial puede contener una cantidad infinita de bases, pero hay una en particular que se conoce como base canónica o estándar, esto debido a la sencillez con que se puede representar un elemento del espacio en términos de esta base.

Algunas de las bases estándar mas conocidas son:

1.-El conjunto de vectores {(1,0),(0,1)}, que forman la base canónica de R2.
2.-El conjunto de vectores {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, que forman la base canónica de R3.
3.-El conjunto de vectores {1,x,x2,...xn}, que forman la base canónica de Pn.