4.6.-BASE ORTONORMAL , PROCESO DE GRAM SCHMIDT

Bases ortonormales
En esta sección veremos que dada cualquier base, siempre es posible transformarla de manera que sus vectores sean perpendiculares entre si y de longitud unitaria. Comencemos por definir este tipo de conjuntos vectoriales.

Definición: Vectores ortonormales
Se dice que un conjunto de vectores S={u1,u2,...uk} es un conjunto ortonormal si cumple las siguientes dos condiciones;

ui⋅uj=0 para todo i≠j
ui⋅ui=1.
con i,j=1,...k. Si sólo se satisface la primera condición, se dice que el conjunto es ortogonal.

Para hacer que los vectores sean ortogonales, recordemos de cálculo vectorial que un vector u se proyecta sobre otro vector v mediante la siguiente fórmula:
proyv(u)=v⋅u|v|2v
Ahora, si escogemos el vector w=u−v⋅u|v|2v, entonces v y w son ortogonales, como lo ilustra la gráfica


Figura : Vector de proyección.

Bajo esta idea se construye el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt; éste es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

El método para ortonormalizar un conjunto de vectores lo describimos a continuación

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
Consideremos un conjunto de vectores S={v1,v2...vn} linealmente independientes de un espacio vectorial V.

P.1) Elección del primer vector unitario. Tomamos el vector v1 y lo dividimos entre su magnitud para hacerlo unitario; al resultado lo llamaremos u1, es decir, u1=v1|v1|.
P.2) Elección del segundo vector unitario. Proyectamos el vector v2 sobre u1, para obtener
v′2=v2−v2⋅u1|u1|2u1=v2−(v2⋅u1)u1ésto último se debe a que|u1|=1.
Tomamos el vector v'2 y lo dividimos entre su magnitud para hacerlo unitario, al resultado lo llamaremos u2, es decir u2=v'2|v'2|.

P.3) Elección del k+1 vector unitario. Supongamos que se han construido los vectores {u1,u2...uk} y que forman un conjunto ortonormal. Para construir uk+1 tenemos
v′k+1=vk+1−(vk+1⋅u1)u1−(vk+1⋅u2
Finalmente uk+1={v′k+1∣∣v′k+1∣∣}.