4.3 - COMBINACIÓN LINEAL, INDEPENDENCIA LINEAL

Definición: Combinación lineal

Dado un conjunto de vectores v1,v2s.vn, se conoce como combinación lineal de ellos a cualquier vector v obtenido mediante la fórmula 

v=k1v1+k2v2+⋯+knvn,

donde k1,k2s.kn son escalares reales, llamados coeficientes de la combinación lineal.

EJEMPLO: Mostrar que en 

R3 el vector (1,0,−1) es una combinación lineal de (1,1,2), (1,−2,−1) y (−2,1,1).

Definición: Dependencia lineal

Un conjunto finito de vectores v1,v2,...vn es linealmente dependiente si cumple cualquiera de las siguientes afirmaciones:

1. Al menos uno de ellos es combinación lineal de los otros.
2. El vector cero se puede expresar como combinación lineal de todos ellos con coeficientes no todos iguales a cero.

Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente, se dice que es linealmente independiente.

En otras palabras, decimos que un conjunto de vectores es linealmente independiente si la ecuación 

0V=k1v1+k2v2+…knvn

implica que todos los ki sean igual a cero.

Algunas propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes son las siguientes:

1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, cualquier subconjunto suyo también lo es.
3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga.
4. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes} si y sólo si son paralelos.
5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si algún vector es múltiplo de otro.
6. Geométricamente, dos vectores son linealmente independientes si no tienen la misma dirección.

v=a1v1+…+anvn.